피타고라스 정리와 삼각형의 닮음 조건

그림과 같이 $\angle \mathrm{B} \mathrm{A}_{\scriptstyle 0} \mathrm{A}_{\scriptstyle 1} = 90^{\scriptstyle \circ}$이고 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{A}_{\scriptstyle 0}}=1$인 직각삼각형 $\mathrm{B} \mathrm{A}_{\scriptstyle 0} \mathrm{A}_{\scriptstyle 1}$이 있다. 점 $\mathrm{A}_{\scriptstyle 0}$에서 출발하는 반직선 $\mathrm{A}_{\scriptstyle 0} \mathrm{A}_{\scriptstyle 1}$ 위에 $\overline{\mathrm{A}_{\scriptstyle i-1}\mathrm{A}_{\scriptstyle i}} = 1 ,\,(i=1,\,2,\,3,\,\dots)$이 되도록 점 $\mathrm{A}_{\scriptstyle 1},\,\mathrm{A}_{\scriptstyle 2},\,\mathrm{A}_{\scriptstyle 3},\,\dots$을 차례로 잡는다. 세 자연수 $k,\,m,\,n\;(k<m<n)$에 대하여 두 삼각형 $\triangle \mathrm{A}_{\scriptstyle k}\mathrm{A}_{\scriptstyle m}\mathrm{B}$와 $\triangle \mathrm{A}_{\scriptstyle k}\mathrm{B}\mathrm{A}_{\scriptstyle n}$이 서로 닮음일 때, 순서쌍 $(k,\,m,\,n)$을 닮음쌍이라 하자. $k=7$일 때, 닮음쌍 $(7,\,m,\,n)$을 만족시키는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오.