초록띠 5기출문제

2007학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 13번

다음은 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ 일 때, $A^n$ 을 구하는 과정이다.

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $A^n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{pmatrix}$ 이라 하자.

행렬의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하여 $A^{n+1}=A\cdot A^n=A^n\cdot A$ 이므로

\begin{aligned}\begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\\c_{n+1}&d_{n+1}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n+c_n&b_n+d_n\\2c_n&2d_n\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n&a_n+2b_n\\c_n&c_n+2d_n\end{pmatrix}\end{aligned}

이다.

따라서 $\begin{cases}a_{n+1}=a_n+c_n=a_n\\b_{n+1}=b_n+d_n=a_n+2b_n\\c_{n+1}=2c_n=c_n\\d_{n+1}=2d_n=c_n+2d_n\end{cases}$ 이므로

$b_{n+1}=2b_n+\boxed{\text{(가)}}$ 이고, $d_{n+1}=\boxed{\text{(나)}}$ 이다.

$\therefore A^n=\boxed{\text{(다)}}$ 이다.

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)　(나)　(다)

정답률 –풀이 수 –정답 시 +10 Rating

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