수열 {an}이 a1=α(α=0)이고, 모든 n(n≥2)에 대하여 (n−1)an+m=1∑n−1mam=0을 만족시킨다. 다음은
an=(n−1)!(−1)n−1α(n≥1)
임을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다.
(1) n=1일 때, a1=α=(1−1)!(−1)1−1α이다.
(2) ⅰ) n=2일 때, a2+a1=0이므로
a2=−a1=(2−1)!(−1)2−1α이다.
따라서 주어진 식이 성립한다.
ⅱ) n=k(k≥2)일 때 성립한다고 가정하고,
n=k+1일 때 성립함을 보이자.
0=kak+1+m=1∑kmam=kak+1+m=1∑k−1mam+kak=kak+1+((가))×ak+kak
이므로
ak+1=(나)×ak=k!(−1)kα
이다.
따라서 모든 자연수 n에 대하여
an=(n−1)!(−1)n−1α이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식의 곱을 f(k)라 할 때, f(10)의 값은? [4점]
