2018학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 나형 17번

그림과 같이 길이가 $4$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 호 $\mathrm{AB}$를 이등분하는 점을 $\mathrm M$이라 하고 선분 $\mathrm{OM}$을 $3:1$로 외분하는 점을 $\mathrm C$라 하자. 선분 $\mathrm{OC}$를 대각선으로 하는 정사각형 $\mathrm{CDOE}$를 그리고, 정사각형의 내부와 반원의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 두 선분 $\mathrm{CD},\mathrm{CE}$를 각각 지름으로 하는 두 반원을 정사각형 $\mathrm{CDOE}$의 외부에 그리고, 각각의 두 반원에서 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 두 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]