2016학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 13번

자연수 $n$에 대하여 직선 $x=n$이 두 무리함수 $y=\sqrt x$, $y=2\sqrt x$의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm A_n$, $\mathrm B_n$이라 하자. (단, $\mathrm O$는 원점이다.)

삼각형 $\mathrm{OA}_n\mathrm B_n$의 넓이를 $S(n)$이라 할 때, $S(2^{10})=2^k$이다. $k$의 값은? [3점]