2017학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 두 선분 $\mathrm{AB},\mathrm{CD}$의 중점을 각각 $\mathrm M,\mathrm N$이라 하자. 두 선분 $\mathrm{BC},\mathrm{AD}$ 위에 $\overline{\mathrm{ME}}=\overline{\mathrm{MF}}=\overline{\mathrm{AB}}$가 되도록 각각 점 $\mathrm E,\mathrm F$를 잡고, 중심이 $\mathrm M$인 부채꼴 $\mathrm{MEF}$를 그린다. 두 선분 $\mathrm{BC},\mathrm{AD}$ 위에 $\overline{\mathrm{NG}}=\overline{\mathrm{NH}}=\overline{\mathrm{AB}}$가 되도록 각각 점 $\mathrm G,\mathrm H$를 잡고, 중심이 $\mathrm N$인 부채꼴 $\mathrm{NHG}$를 그린다. 두 부채꼴 $\mathrm{MEF},\mathrm{NHG}$의 내부에서 공통부분을 제외한 나머지 부분에와 같이 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 두 부채꼴 $\mathrm{MEF},\mathrm{NHG}$의 공통부분인 마름모의 각 변에 꼭짓점이 있고, 네 변이 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 네 변과 각각 평행한 정사각형을 그린다. 새로 그려진 정사각형에 그림 $R_1$을 얻은 방법과 같은 방법으로 $2$개의 부채꼴을 각각 그린 다음 $2$개의 부채꼴의 내부에서 공통부분을 제외한 나머지 부분에와 같이 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에서 색칠된 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]