다음은 실수 a , b 에 대하여 a>0 , b>0 일 때, \left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac4a\right) 의 최솟값을 구하는 과정으로, 어떤 학생의 오답에 대한 선생님의 첨삭지도 일부분이다. 2009년 ○○월 ○○일 산술평균과 기하평균의 대소관계를 적용하면 a+\frac1b\ge2\sqrt{\frac ab}\quad\cdots{\char"3260} b+\frac4a\ge2\sqrt{\frac{4b}a}\quad\cdots{\char"3261} ㉠, ㉡의 양변을 각각 곱하면 \left(a+\fra…

초록띠 5기출문제

2009학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 13번

다음은 실수 $a$ , $b$ 에 대하여 $a>0$ , $b>0$ 일 때, $\left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac4a\right)$ 의 최솟값을 구하는 과정으로, 어떤 학생의 오답에 대한 선생님의 첨삭지도 일부분이다.

<학생풀이>　2009년 ○○월 ○○일

산술평균과 기하평균의 대소관계를 적용하면

a+\frac1b\ge2\sqrt{\frac ab}\quad\cdots{\char"3260}

b+\frac4a\ge2\sqrt{\frac{4b}a}\quad\cdots{\char"3261}

㉠, ㉡의 양변을 각각 곱하면

\left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac4a\right)\ge4\sqrt{\frac ab\cdot\frac{4b}a}=8\quad\cdots{\char"3262}

그러므로 구하는 최솟값은 $8$ 이다.

<첨삭내용>　○ ○ ○ (인)

㉠의 등호가 성립할 때는 $\boxed{\text{(가)}}$ 이고

㉡의 등호가 성립할 때는 $\boxed{\text{(나)}}$ 이다.

따라서 (가)와 (나)를 동시에 만족하는 양수 $a$ , $b$ 는 존재하지 않으므로 최솟값은 $8$ 이 될 수 없다.

(가), (나)에 알맞은 것과 최솟값을 바르게 구한 것은? [4점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +10 Rating

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