함수 f(x)=x^2+4 에 대하여 수열 \{a_n\} 이 다음 조건을 만족시킨다. a_1=1,\ a_2=3 이고, 모든 자연수 n 에 대하여 a_n 모든 자연수 n 에 대하여 곡선 y=f(x) 위의 두 점 \mathrm{P}_n\left(a_{n+1},f(a_{n+1})\right) , \mathrm{Q}_n\left(a_{n+2},f(a_{n+2})\right) 를 지나는 직선의 기울기는 3a_{n+1}-a_n+1 이다. 다음은 \displaystyle\sum_{k=1}^{10}(a_{2k+1}-a_{2k}) 의 값을 구하는 …

초록띠 2수능형

2027학년도 수능 대비 20번

투투2026.10.31

함수 $f(x)=x^2+4$ 에 대하여 수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

$a_1=1,\ a_2=3$ 이고, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n<a_{n+1}$ 이다.
모든 자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 두 점 $\mathrm{P}_n\left(a_{n+1},f(a_{n+1})\right)$ , $\mathrm{Q}_n\left(a_{n+2},f(a_{n+2})\right)$ 를 지나는 직선의 기울기는 $3a_{n+1}-a_n+1$ 이다.

다음은 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(a_{2k+1}-a_{2k})$ 의 값을 구하는 과정이다.

두 점 $\mathrm{P}_n$ , $\mathrm{Q}_n$ 을 지나는 직선의 기울기가 $3a_{n+1}-a_n+1$ 이므로

\begin{aligned}\frac{f(a_{n+2})-f(a_{n+1})}{a_{n+2}-a_{n+1}}&=\frac{(a_{n+2}^2+4)-(a_{n+1}^2+4)}{a_{n+2}-a_{n+1}}\\&=a_{n+2}+a_{n+1}\\&=3a_{n+1}-a_n+1\end{aligned}

이고, 이 식을 정리하면 $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1$ 이다.

$b_n=a_{n+1}-a_n$ 이라 하면 $b_{n+1}-b_n=1$ 이므로 수열 $\{b_n\}$ 은 공차가 $1$ 인 등차수열이다.

또한 $a_1=1,\ a_2=3$ 이므로 $b_1=\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}$ 이고, 수열 $\{b_n\}$ 의 일반항은 $b_n=\boxed{\quad\left(\text{나}\right)\quad}$ 이다. 따라서

\sum_{k=1}^{10}(a_{2k+1}-a_{2k})=\sum_{k=1}^{10}b_{2k}=\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad}

이다.

위의 (나)에 알맞은 식을 $g(n)$ , (가)와 (다)에 알맞은 수를 각각 $p$ , $q$ 라 할 때, $p+q+g(5)$ 의 값을 구하시오.

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