2006학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 20번

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원 $\mathrm O_1$에서 서로 수직인 두 반지름을 그어 중심각의 크기가 각각 $270^\circ,\ 90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm A_1,\mathrm B_1$을 만든 후, 부채꼴 $\mathrm B_1$에 내접하는 원 $\mathrm O_2$를 그린다. 다시 원 $\mathrm O_2$에서 서로 수직인 두 반지름을 그어 중심각의 크기가 각각 $270^\circ,\ 90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm A_2,\mathrm B_2$를 만든 후, 부채꼴 $\mathrm B_2$에 내접하는 원 $\mathrm O_3$을 그린다. 이와 같은 과정을 한없이 계속하여 얻어진 부채꼴 $\mathrm A_1,\mathrm A_2,\mathrm A_3,\cdots$의 넓이를 각각 $S_1,S_2,S_3,\cdots$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]