2012학년도 대학수학능력시험 수리 영역 나형 28번

좌표평면에서 자연수 $n$에 대하여 점 $\mathrm{P}_n$의 좌표를 $\left(n,\,3^n\right)$, 점 $\mathrm{Q}_n$의 좌표를 $\left(n,\,0\right)$이라 하자.
사각형 $\mathrm{P}_n\mathrm{Q}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+2}\mathrm{P}_{n+1}$의 넓이를 $a_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{q}{p}$이다. $p^2+q^2$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]