2021학년도 경찰대학 1차 시험 수학 영역 10번

$n$쌍의 부부로 구성된 어느 모임의 모든 사람에게 $1,2,3$ 중의 한 숫자가 적힌 카드를 한 장씩 임의로 나누어준 후, 카드를 받은 사람들이 $1,2,3$ 중의 한 숫자를 임의로 적도록 한다. 남편이 적은 수가 아내가 받은 카드에 적힌 수와 일치하고, 아내가 적은 수가 남편이 받은 카드에 적힌 수와 일치하는 부부에게만 상품을 주기로 한다. 상품을 받는 부부가 $2$쌍 이하일 확률이 $\dfrac{57}{32}\left(\dfrac89\right)^n$일 때, 자연수 $n$의 값은? [4점]