2015학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 30번

한 변의 길이가 $66$인 정삼각형 $ABC$가 있다. 그림과 같이 세 선분 $AB$, $AC$, $CB$를 $5:1$로 내분하는 점을 각각 $P_1$, $Q_1$, $R_1$이라 하고, 세 선분 $AP_1$, $AQ_1$, $CR_1$을 $5:1$로 내분하는 점을 각각 $P_2$, $Q_2$, $R_2$라 하고, 세 선분 $AP_2$, $AQ_2$, $CR_2$를 $5:1$로 내분하는 점을 각각 $P_3$, $Q_3$, $R_3$라 하자.

이와 같은 방법으로 세 선분 $AP_{k-1}$, $AQ_{k-1}$, $CR_{k-1}$을 $5:1$로 내분하는 점을 각각 $P_k$, $Q_k$, $R_k\;(k=4,\,5,\,6,\,\cdots)$라 하자.

자연수 $n$에 대하여 선분 $AR_1$과 선분 $P_nQ_n$의 교점을 $A_n$, 선분 $AR_2$와 선분 $P_nQ_n$의 교점을 $B_n$, 선분 $AR_3$과 선분 $P_nQ_n$의 교점을 $C_n$, 선분 $AR_4$와 선분 $P_nQ_n$의 교점을 $D_n$, 선분 $AR_5$와 선분 $P_nQ_n$의 교점을 $E_n$, 선분 $AR_6$과 선분 $P_nQ_n$의 교점을 $F_n$이라 하자.

$\overline{A_1B_1}+\overline{B_2C_2}+\overline{C_3D_3}+\overline{D_4E_4}+\overline{E_5F_5}=25-\frac{5^b}{6^a}$일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 자연수이다.) [4점]