2027학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 공통 20번

$0\le x\le 2\pi$에서 정의된 두 함수

이 있다. 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 제$4$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자.
점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y=g(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{C}$라 하고, 점 $\mathrm{B}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y=g(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm{B}$가 아닌 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 다음은

일 때, 상수 $k$의 값을 구하는 과정의 일부이다. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)

두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$는 그림과 같다.

점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $a$라 하면 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$의 좌표는 다음과 같다.

$$\mathrm{B}(\boxed{\,\,\text{(가)}\,\,},-\sin a),\quad \mathrm{D}(\boxed{\,\,\text{(나)}\,\,},-\sin a)$$

삼각형 $\mathrm{CDB}$의 넓이는

$$\dfrac{1}{2}\times\overline{\mathrm{DB}}\times2\sin a$$

이고,

$$(\text{삼각형 AOD의 넓이})=\dfrac{5}{14}\times(\text{삼각형 CDB의 넓이})$$

이므로 $a=\boxed{\,\,\text{(다)}\,\,}$이다. 따라서

$$k=-\tan(\boxed{\,\,\text{(다)}\,\,})$$

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $p(a),\ q(a)$라 하고, (다)에 알맞은 수를 $\alpha$라 하자. $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\displaystyle 3\times\dfrac{p(\alpha)}{q(\alpha)}$의 값을 구하시오. [4점]