다음은 주기함수 f:R→R (R는 실수 전체의 집합)에 대하여 집합 {f(n)∣n은 자연수}가 무한집합이면 함수 f의 주기는 무리수임을 증명하는 과정이다.
(증명)
함수 f(x)의 주기 T가 유리수라고 가정하면
T=ba (단, a,b는 자연수)라 놓을 수 있다.
임의의 실수 x에 대하여 f(x)=f(x+T)이므로
f(x+T)=f(x+T+T)=f(x+2T), f(x+2T)=f(x+2T+T)=f(x+3T), f(x+(b−1)T)=f(x+bT) ∴ f(x)=f(x+bT) ∴ f(x)=f(x+a) 한편, 임의의 자연수 n에 대하여
n=aq+r (단, r=0,1,2,⋯,a−1)라 하면
f(n)=f(aq+r)=(가) ∴ {f(n)∣n은 자연수}=(나)
이것은 집합 {f(n)∣n은 자연수}가 무한집합이라는 사실에 모순이므로, f(x)의 주기는 무리수이다.
위의 증명에서 (나)에 알맞은 것은? [3점]
