2014학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 A형 14번

[13~14] 그림은 두 곡선 $y=x^2$, $y=\dfrac14x^2$과 꼭짓점의 좌표가 $\mathrm{O}\left(0,\,0\right),\,\mathrm{A}\left(n,\,0\right),\,\mathrm{B}\left(n,\,n^2\right),\,\mathrm{C}\left(0,\,n^2\right)$인 직사각형 $\mathrm{OABC}$를 나타낸 것이다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.
(단, $n$은 자연수이다.)

자연수 $n$에 대하여, $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점 중에서 직사각형 $\mathrm{OABC}$ 또는 그 내부에 있고 부등식 $y\ge x^2$을 만족시키는 모든 점의 개수를 $a_n$이라 하자. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^3}$의 값은? [4점]