다음은 2 이상의 모든 자연수 n 에 대하여 부등식 \frac{1\cdot2}{n+1}+\frac{2\cdot3}{n+2}+\frac{3\cdot4}{n+3}+\cdots+\frac{n(n+1)}{n+n} 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. 부등식 (*)의 좌변을 S_n 이라 하자. (ⅰ) n=2 일 때, (좌변) =S_2=\boxed{\text{(가)}} , (우변) =\frac94 이므로 (*)은 성립한다. (ⅱ) n=m\ (m=2,3,4,\cdots) 일 때 (*)이 성립한다고 가정하자. S_m=\frac{1\cdo…

노란띠 5기출문제

2011학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 이과 15번

다음은 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 부등식

\frac{1\cdot2}{n+1}+\frac{2\cdot3}{n+2}+\frac{3\cdot4}{n+3}+\cdots+\frac{n(n+1)}{n+n}<\frac{(n+1)^2}4\quad\cdots\ (*)

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

부등식 (*)의 좌변을 $S_n$ 이라 하자.

(ⅰ) $n=2$ 일 때, (좌변) $=S_2=\boxed{\text{(가)}}$ , (우변) $=\frac94$ 이므로 (*)은 성립한다.

(ⅱ) $n=m\ (m=2,3,4,\cdots)$ 일 때 (*)이 성립한다고 가정하자.

S_m=\frac{1\cdot2}{m+1}+\frac{2\cdot3}{m+2}+\frac{3\cdot4}{m+3}+\cdots+\frac{m(m+1)}{m+m}

이고,

S_{m+1}=\frac{1\cdot2}{(m+1)+1}+\frac{2\cdot3}{(m+1)+2}+\cdots+\frac{(m+1)(m+2)}{(m+1)+m+1}

이므로

S_{m+1}-S_m=-2\left(\frac1{m+1}+\frac2{m+2}+\frac3{m+3}+\cdots+\frac m{2m}\right)+\boxed{\text{(나)}}+\frac{m+2}2

한편,

\frac1{m+1}+\frac2{m+2}+\cdots+\frac m{2m}>\frac1{m+m}+\frac2{m+m}+\cdots+\frac m{2m}=\boxed{\text{(다)}}

이고 $\boxed{\text{(나)}}<\frac{2m+1}4$ 이므로 $S_{m+1}-S_m<\frac{2m+3}4$ 이다.

따라서 $S_{m+1}<S_m+\frac{2m+3}4<\frac{(m+2)^2}4$ 이므로 (*)은 $n=m+1$ 일 때도 성립한다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에서 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 $a$ 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m),g(m)$ 이라 할 때, $af(3)g(3)$ 의 값은? [3점]

#사관학교 #3점 #2010년 시행 #2011학년도 #사관학교

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