2014학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 29번

그림과 같이 중심이 $\mathrm O$이고, 반지름의 길이가 $1$인 원이 있다. 원의 중심으로부터 거리가 $2$인 점 $\mathrm A$에서 원과 서로 다른 두 점에서 각각 만나도록 그은 두 직선이 이루는 각의 크기가 $\frac\pi6$로 일정하다.

원의 중심 $\mathrm O$에서 두 직선까지의 거리를 각각 $l$, $m$이라 할 때, $2l^2+m^2$의 최솟값은 $p+q\sqrt7$이다. $30(p+q)$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 유리수이다.) [4점]