2015학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 B형 13번

[13～14] 그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$가 있다. 자연수 $n$에 대하여 호 $\mathrm{AB}$를 $2n$등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 $\mathrm{P}_0\left(=\mathrm{A}\right),\,\mathrm{P}_1,\,\mathrm{P}_2,\,\cdots,\,\mathrm{P}_{2n-1},\,\mathrm{P}_{2n}\left(=\mathrm{B}\right)$라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

주어진 자연수 $n$에 대하여 $S_k\ \left(1\le k\le n\right)$을 삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{P}_{n-k}\mathrm{P}_{n+k}$의 넓이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n S_k$의 값은? [3점]