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그림과 같이 넓이가 111인 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A_1B_1C_1D_1}A1B1C1D1의 각 변의 중점과 꼭지점을 이은 선분으로 둘러싸인 정사각형을 A2B2C2D2\mathrm{A_2B_2C_2D_2}A2B2C2D2라 하고, 다시 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A_2B_2C_2D_2}A2B2C2D2의 각 변의 중점과 꼭지점을 이은 선분으로 둘러싸인 정사각형을 A3B3C3D3\mathrm{A_3B_3C_3D_3}A3B3C3D3이라 하자.
이와 같은 방법으로 계속하여 만든 정사각형 AnBnCnDn (n=1, 2, 3, ⋯ )\mathrm{A_nB_nC_nD_n}\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)AnBnCnDn (n=1, 2, 3, ⋯)의 넓이를 SnS_nSn이라 할 때, 100∑n=1∞Sn100\sum\limits_{n=1}^\infty S_n100n=1∑∞Sn의 값을 구하시오. [4점]
