두 공차로 진행하는 수열과 가장 가까운 원소를 도함수로 갖는 함수

상수 $r$에 대하여 첫째항이 정수인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여

을 만족시킨다. 자연수 $N$, $M$과 상수 $t$에 대하여 두 집합

이 다음 조건을 만족시킨다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $A\cup B$의 이웃한 두 원소의 중점이 아닌 모든 실수 $x$에서 미분가능하고, $f'(x)$는 $A\cup B$의 원소 중 $x$에 가장 가까운 수이다. 실수 $k$에 대하여 함수

의 최솟값을 구하시오. (단, $\min X$, $\max X$는 각각 집합 $X$의 가장 작은 원소와 가장 큰 원소이다.)