다음은 모든 자연수 n 에 대하여 2^{n-1}\le n! 임을 이용하여 \sum\limits_{k=1}^n\frac{3^{k-1}+1}{2\cdot k!}\le\frac{3^n-1}{2^n}\quad\cdots\ (\bigstar) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) n=1 일 때, (\text{\char"C88C\char"BCC0})=\boxed{\text{(\char"AC00)}} 이고 (우변)=1이므로 (\bigstar) 이 성립한다. (ⅱ) n=m 일 때, (\bigstar) 이 성립한다고 가정하면 \s…

초록띠 4기출문제

2014학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 16번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $2^{n-1}\le n!$ 임을 이용하여

\sum\limits_{k=1}^n\frac{3^{k-1}+1}{2\cdot k!}\le\frac{3^n-1}{2^n}\quad\cdots\ (\bigstar)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(ⅰ) $n=1$ 일 때,

$(\text{\char"C88C\char"BCC0})=\boxed{\text{(\char"AC00)}}$ 이고 (우변)=1이므로 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

(ⅱ) $n=m$ 일 때, $(\bigstar)$ 이 성립한다고 가정하면

\sum\limits_{k=1}^m\frac{3^{k-1}+1}{2\cdot k!}\le\frac{3^m-1}{2^m}\text{이다.}

$n=m+1$ 일 때,

\begin{aligned}\sum\limits_{k=1}^{m+1}\frac{3^{k-1}+1}{2\cdot k!}&=\sum\limits_{k=1}^m\frac{3^{k-1}+1}{2\cdot k!}+\boxed{\text{(\char"B098)}}\\&\le\frac{3^m-1}{2^m}+\boxed{\text{(\char"B098)}}\end{aligned}

한편, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $2^{n-1}\le n!$ 이 성립하므로

\begin{aligned}\sum\limits_{k=1}^{m+1}\frac{3^{k-1}+1}{2\cdot k!}&\le\frac{3^m-1}{2^m}+\boxed{\text{(\char"B098)}}\\&\le\frac{3^m-1}{2^m}+\frac{3^m+1}{\boxed{\text{(\char"B2E4)}}}=\frac{3^{m+1}-1}{\boxed{\text{(\char"B2E4)}}}\end{aligned}

이 성립한다.

따라서 $n=m+1$ 일 때도 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

그러므로 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 $p$ , (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m)$ , $g(m)$ 이라 할 때, $f(p)\times g(p)$ 의 값은? [4점]

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