2009학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 20번

그림과 같이 지름의 길이가 $1$, $\frac12$, $\frac1{2^2}$, $\cdots$인 등비수열을 이루는 반원의 내부에 지름을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형을 그리고, 반원의 내부와 직각이등변삼각형의 외부의 공통부분(색칠한 부분)을 차례로 $T_1$, $T_2$, $T_3$, $\cdots$이라 하자.

$\cdots$

$T_n$의 넓이를 $S_n$($n=1,2,3,\cdots$)이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(3^{n-1}\cdot S_n)$의 값은? [3점]