2004학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 13번

<증명>

먼저 $n\geqq5$인 모든 자연수 $n$에 대하여, $2^n>n^2\cdots\cdots{\char"3260}$이 성립함을 증명하자.

(ⅰ) $n=5$일 때,

$(\text{좌변})=2^5=32$, $(\text{우변})=5^2=25$이므로 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) $n=k\ (k\geqq5)$일 때, $2^k>k^2$이 성립한다고 가정하면

그러므로 ㉠은 $n=k+1$일 때도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $n\geqq5$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $2^n>n^2$이 성립한다.

위에서 $2^n>n^2$이므로 $0<\dfrac n{2^n}<\boxed{\text{(나)}}$이다.

$\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac n{2^n}=\boxed{\text{(다)}}$이다.

따라서 무한수열 $\dfrac12,\dfrac2{2^2},\dfrac3{2^3},\cdots,\dfrac n{2^n},\cdots$은 수렴한다.