2014학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 30번

좌표평면 위에 직선 $y=\sqrt3x$가 있다. 자연수 $n$에 대하여 $x$축 위의 점 중에서 $x$좌표가 $n$인 점을 $\mathrm P_n$, 직선 $y=\sqrt3x$ 위의 점 중에서 $x$좌표가 $\dfrac1n$인 점을 $\mathrm Q_n$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{OP}_n\mathrm Q_n$의 내접원의 중심에서 $x$축까지의 거리를 $a_n$, 삼각형 $\mathrm{OP}_n\mathrm Q_n$의 외접원의 중심에서 $x$축까지의 거리를 $b_n$이라 할 때 $\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n=L$이다. $100L$의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.) [4점]