2015학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 21번

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$인 원을 부채꼴로 $6$등분하여 각각의 부채꼴에 내접하는 원을 하나씩 그려 넣는다. 이 $6$개의 원에 의해 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 합동인 $6$개의 원 안에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 $6$개의 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=a\sqrt3+b\pi$이다.

$a+b$의 값은? (단, $a$, $b$는 유리수이다.) [4점]