2019학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 한 변의 길이가 $3$인 정삼각형 $\mathrm{A_1B_1C_1}$이 있다. 세 선분 $\mathrm{A_1B_1}$, $\mathrm{B_1C_1}$, $\mathrm{C_1A_1}$을 $1:2$로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{A_2}$, $\mathrm{B_2}$, $\mathrm{C_2}$라 하자. 선분 $\mathrm{B_2C_1}$을 지름으로 하는 반원의 내부와 선분 $\mathrm{B_2C_2}$를 지름으로 하는 반원의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에서 세 선분 $\mathrm{A_2B_2}$, $\mathrm{B_2C_2}$, $\mathrm{C_2A_2}$를 $1:2$로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{A_3}$, $\mathrm{B_3}$, $\mathrm{C_3}$이라 하자. 선분 $\mathrm{B_3C_2}$를 지름으로 하는 반원의 내부와 선분 $\mathrm{B_3C_3}$을 지름으로 하는 반원의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]