2010학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 가형 미분과 적분 30번

좌표평면 위에 타원 $\dfrac{x^2}{11^2}+\dfrac{y^2}{3^2}=1$과 점 $\mathrm{P}\left(11,\,0\right)$이 있고, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $11$인 원 $C_1$과 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$인 원 $C_2$가 있다. 제1사분면에 있는 원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{A}$에 대하여 선분 $\mathrm{OA}$와 원 $C_2$의 교점을 $\mathrm{B}$, 점 $\mathrm{A}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 선분 $\mathrm{AH}$와 타원의 교점을 $\mathrm{Q}$, 선분 $\mathrm{OA}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABQ}$의 넓이를 $S_1$이라 하고, 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 넓이를 $S_2$라 하자. $\displaystyle\lim_{\theta\to0}\frac{S_2}{\theta^2\cdot S_1}=\frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]