2027학년도 수학도장 수능 직전 모의고사 1회 기하 30번

좌표평면에 점 $(1,0)$에서 $x$축에 접하는 원 $C_1$과 점 $(0,1)$에서 $y$축에 접하는 원 $C_2$가 있다. 두 원 $C_1$, $C_2$는 모두 직선 $y=tx\;(0<t<1)$에 접하고 중심이 제$1$사분면에 있다. 다음 조건을 만족시키는 점 $\mathrm X$가 나타내는 영역의 넓이가 $\dfrac\pi6$일 때, $t=\dfrac qp$이다.

$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.)