2011학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 19번

수열 $\{a_n\}$이

을 만족할 때, 다음은 모든 자연수 $n$에 대하여

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(i) $n=1$일 때,

(좌변)$=a_1=\boxed{\text{(가)}}$

(우변)$=\dfrac1{(1+1)^2}-T_1=\boxed{\text{(가)}}$

이므로 (★)이 성립한다.

(ii) $n=m$일 때, (★)이 성립한다고 가정하면

$$\sum\limits_{k=1}^ma_k=\sum\limits_{k=1}^m\frac1{(k+1)^2}-T_m$$

이다. $n=m+1$일 때, (★)이 성립함을 보이자.

$$\begin{aligned}\sum\limits_{k=1}^{m+1}a_k&=\sum\limits_{k=1}^m\frac1{(k+1)^2}-T_m+a_{m+1}\\&=\sum\limits_{k=1}^m\frac1{(k+1)^2}-T_m+\boxed{\text{(나)}}(T_{m+1}-T_m)\\&=\sum\limits_{k=1}^m\frac1{(k+1)^2}-T_{m+1}+\frac{m+3}{m+2}(T_{m+1}-T_m)\\&=\sum\limits_{k=1}^m\frac1{(k+1)^2}-T_{m+1}+\frac1{(m+2)^2}\\&=\sum\limits_{k=1}^{m+1}\frac1{(k+1)^2}-T_{m+1}\end{aligned}$$

그러므로 $n=m+1$일 때도 (★)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 (★)이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $\alpha$, (나)에 알맞은 식을 $f(m)$이라 할 때, $\dfrac\alpha{f(2)}$의 값은? [3점]