2025학년도 5월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 12번

그림과 같이 세 상수 $a$($a>1$), $k$, $t$에 대하여 두 곡선 $y=\log_a x$, $y=-2\log_a x+k$가 만나는 점을 $\mathrm A$라 하고, 직선 $x=t$가 두 곡선 $y=\log_a x$, $y=-2\log_a x+k$와 만나는 점을 각각 $\mathrm B$, $\mathrm C$라 하자. 직선 $\mathrm{AB}$가 원점 $\mathrm O$를 지나고 두 삼각형 $\mathrm{OCA}$, $\mathrm{ACB}$의 넓이가 $2$로 같을 때, $a\times k\times t$의 값은? (단, $k>0$이고, $t$는 점 $\mathrm A$의 $x$좌표보다 크다.) [4점]