2020학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 나형 18번

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$이 있다. $4$개의 선분 $\mathrm{A_1B_1}$, $\mathrm{B_1C_1}$, $\mathrm{C_1D_1}$, $\mathrm{D_1A_1}$을 $1:3$으로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{E_1}$, $\mathrm{F_1}$, $\mathrm{G_1}$, $\mathrm{H_1}$이라 하고, 정사각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$의 내부에 점 $\mathrm{E_1}$, $\mathrm{F_1}$, $\mathrm{G_1}$, $\mathrm{H_1}$ 각각을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\dfrac14\overline{\mathrm{A_1B_1}}$인 $4$개의 반원을 그린 후 이 $4$개의 반원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 점 $\mathrm{A_1}$을 지나고 중심이 $\mathrm{H_1}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 $\mathrm{B_1}$을 지나고 중심이 $\mathrm{E_1}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 $\mathrm{A_2}$, 점 $\mathrm{B_1}$을 지나고 중심이 $\mathrm{E_1}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 $\mathrm{C_1}$을 지나고 중심이 $\mathrm{F_1}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 $\mathrm{B_2}$, 점 $\mathrm{C_1}$을 지나고 중심이 $\mathrm{F_1}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 $\mathrm{D_1}$을 지나고 중심이 $\mathrm{G_1}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 $\mathrm{C_2}$, 점 $\mathrm{D_1}$을 지나고 중심이 $\mathrm{G_1}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 $\mathrm{A_1}$을 지나고 중심이 $\mathrm{H_1}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 $\mathrm{D_2}$라 하자. 정사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$의 내부에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 $4$개의 반원을 그리고 이 $4$개의 반원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]