2024학년도 10월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 20번

양수 $a$에 대하여 $\overline{\mathrm{AB}}=3a^2+10a+7$, $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{AE}}=a$인 직육면체 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$를 $1:a$로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{DC}$를 $1:a$로 내분하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 직육면체 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$에서 단면 $\mathrm{PFGQ}$가 생기도록 삼각기둥 $\mathrm{PFB}\text{-}\mathrm{QGC}$를 잘라 내었다. 사각기둥 $\mathrm{AEFP}\text{-}\mathrm{DHGQ}$의 부피를 $V_1$, 삼각기둥 $\mathrm{PFB}\text{-}\mathrm{QGC}$의 부피를 $V_2$라 하자.
$V_1-V_2=4$일 때, 선분 $\mathrm{AP}$의 길이는? [4점]