2013학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 가형 26번

그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 $\mathrm{O}$이고 초점이 $\mathrm{F}$인 포물선과 점 $\mathrm{F}$를 지나고 기울기가 $1$인 직선이 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하자. 선분 $\mathrm{AF}$를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 $2$일 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 $a+b\sqrt{2}$이다.
$a^2+b^2$의 값을 구하시오. (단, $a,\,b$는 정수이다.) [4점]