로그자

로그자는 양수 $k$를 하나 정하고, $x\ge1$인 실수 $x$에 대하여 눈금 $1$에서부터 한쪽 방향으로 거리가 $k\log_{{\scriptstyle 10}}x$인 지점에 눈금 $x$를 표시하여 만든다.

비례상수가 각각 $k_{{\scriptstyle \mathrm{A}}}, k_{{\scriptstyle \mathrm{B}}}, k_{{\scriptstyle \mathrm{C}}}$인 세 로그자 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$의 눈금 $1$을 각각 $x$축 위의 세 점 $\mathrm{P}(0,0)$, $\mathrm{Q}(2,0)$, $\mathrm{R}(5,0)$에 놓고, 눈금이 커지는 방향이 $y$축의 양의 방향과 같도록 세웠다. 세 로그자는 다음 조건을 만족시킨다.

직선 $L_{{\scriptstyle 2}}$가 로그자 $\mathrm{C}$와 만나는 눈금 $M$의 값을 구하시오.