격자점 집합을 통해 삼각함수의 그래프 알아내기

실수 $b$가 $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\dfrac{\pi}{2}<b<\pi$를 만족시킨다. 실수 $t$에 대하여 점 $\mathrm{P}_{{\scriptstyle t}}\left(t,\,3\sin bt\right)$와 집합

의 점 $\mathrm{Q}$ 사이의 거리 $\overline{\mathrm{P}_{{\scriptstyle t}}\mathrm{Q}}$의 최솟값을 $f\left(t\right)$라 하자. 함수 $g\left(x\right)$를

로 정의하자. $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}0<k<\dfrac{2\pi}{b}$인 상수 $k$가 다음 조건을 만족시킨다.

닫힌구간 $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\left[0,\,\dfrac{3\pi}{b}\right]$에서 함수 $g\left(x\right)$가 불연속인 점의 $x$좌표의 평균을 $c$라 하자. $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\cos^{{\scriptstyle 2}}\left(3b\right)+c=\dfrac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,\,q$는 서로소인 자연수이다.)