2003학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 17번

<증명>

등식 $x^2+y^3=z^4$을 만족하는 소수인 자연수 $x$, $y$, $z$가 존재한다고 가정하자.

$y^3=z^4-x^2=(z^2-x)(z^2+x)$이므로

i) $z^2-x=1$, $z^2+x=y^3$인 경우

$2z^2=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$에서

$\boxed{\text{(가)}}$이고 $y^2-y+1=2z$

그러나, $y(y-1)$, $2z$는 모두 짝수이므로 등식 $y^2-y+1=2z$는 성립할 수 없다.

ii) $z^2-x=y$, $z^2+x=y^2$인 경우

$2z^2=y^2+y=y(y+1)$에서

$y=z$이고 $\boxed{\text{(나)}}$

이것은 가정에 모순이다.

i), ii)에서 등식 $x^2+y^3=z^4$을 만족하는 소수인 자연수 $x$, $y$, $z$는 존재하지 않는다.