2019학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 중심이 $\mathrm{O_1}$, 반지름의 길이가 $2$이고 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{O_1A_1B_1}$에서 두 선분 $\mathrm{O_1A_1}$, $\mathrm{O_1B_1}$ 위에 두 점 $\mathrm{M_1}$, $\mathrm{O_2}$를 각각 $\overline{\mathrm{O_1M_1}}=\dfrac{\sqrt2}2\overline{\mathrm{O_1A_1}}$, $\overline{\mathrm{O_1O_2}}=\dfrac{\sqrt2}2\overline{\mathrm{O_1B_1}}$이 되도록 정하자. 두 점 $\mathrm{M_1}$, $\mathrm{O_2}$와 호 $\mathrm{A_1B_1}$ 위의 두 점 $\mathrm{C_1}$, $\mathrm{A_2}$를 꼭짓점으로 하는 직사각형 $\mathrm{O_2M_1C_1A_2}$를 그리고, 직사각형 $\mathrm{O_2M_1C_1A_2}$와 삼각형 $\mathrm{O_1C_1A_2}$의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에 중심이 $\mathrm{O_2}$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{O_2A_2}}$이고 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{O_2A_2B_2}$를 점 $\mathrm{B_2}$가 부채꼴 $\mathrm{O_1A_1B_1}$의 외부에 있도록 그리고, 두 선분 $\mathrm{O_2A_2}$, $\mathrm{O_2B_2}$ 위에 두 점 $\mathrm{M_2}$, $\mathrm{O_3}$을 각각 $\overline{\mathrm{O_2M_2}}=\dfrac{\sqrt2}2\overline{\mathrm{O_2A_2}}$, $\overline{\mathrm{O_2O_3}}=\dfrac{\sqrt2}2\overline{\mathrm{O_2B_2}}$가 되도록 정하자. 두 점 $\mathrm{M_2}$, $\mathrm{O_3}$과 호 $\mathrm{A_2B_2}$ 위의 두 점 $\mathrm{C_2}$, $\mathrm{A_3}$을 꼭짓점으로 하는 직사각형 $\mathrm{O_3M_2C_2A_3}$을 그리고, 직사각형 $\mathrm{O_3M_2C_2A_3}$과 삼각형 $\mathrm{O_2C_2A_3}$의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]