2005학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 15번

<증명>

직사각형의 가로, 세로, 대각선의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면 $a^2+b^2=c^2$이고, 넓이는 $ab$이다.

자연수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a^2+b^2=c^2$이면 $ab$는 $3$의 배수임을 증명하자.

자연수 $n$은

i) $n=3k\;(k=1,2,3,\ldots)$일 때,

ii) $n=3k+1\;(k=0,1,2,\ldots)$일 때,

iii) $n=3k+2\;(k=0,1,2,\ldots)$일 때,

따라서 $n^2$을 $3$으로 나누면 나머지는 $\boxed{\text{(가)}}$이다.

$a$, $b$가 모두 $3$의 배수가 아니라면 $a^2+b^2$을 $3$으로 나눈 나머지는 $\boxed{\text{(나)}}$이고, $c^2$을 $3$으로 나눈 나머지는 $\boxed{\text{(가)}}$이므로 모순이다.

그러므로 $\boxed{\text{(다)}}$ $3$의 배수이다.

따라서 $ab$는 $3$의 배수이다.