2027학년도 수학도장 수능 직전 모의고사 1회 확률과 통계 29번

흰 공 $2$개와 검은 공 $2$개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼내어 색을 확인한 후 꺼낸 공을 모두 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $9$번 반복할 때, 꺼낸 두 공의 색이 같은 시행의 횟수가 $k$일 확률을 $a_k$라 하자. $\displaystyle\sum_{k=1}^{8}k(9-k)a_k$의 값을 구하시오.