두 계승의 곱을 통해 정의된 수열의 합

실수 $x$보다 크지 않은 정수 중 가장 큰 정수를 $\lfloor x\rfloor$라고 하자. 실수 $\theta$와 정수 $t$에 대하여 복소수 $z=\cos\theta+i\sin\theta$, $s=\cos t\theta+i\sin t\theta$는 다음을 만족시킨다.

자연수 $n$에 대하여 수열 $\{a_n\}$을

으로 정의한다. 두 정수 $p$, $q$가 $3a_{472}\times472!=4^p-q$를 만족시킬 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $0\le q<4^{p-1}$이다.)