2015학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 20번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{OP}}=1$인 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm P$를 중심으로 하고 원점을 지나는 원 $C_1$이 $x$축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 $\mathrm Q$라 하자. $\overline{\mathrm{OR}}=2$이고 $\angle\mathrm{ROQ}=\frac12\angle\mathrm{POQ}$인 제$4$사분면 위의 점 $\mathrm R$을 중심으로 하고 원점을 지나는 원 $C_2$가 $x$축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 $\mathrm S$라 하자.

$\angle\mathrm{POQ}=\theta$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{OQP}$와 삼각형 $\mathrm{ORS}$의 넓이의 합이 최대가 되도록 하는 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값은?

(단, $\mathrm O$는 원점이고, $0<\theta<\frac\pi2$이다.) [4점]