2010학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 30번

그림은 화가 라파엘로의 벽화 ‘아테네 학당’의 일부이다. [4점]

은호는 수학자 유클리드가 컴퍼스를 이용하여 도형을 작도하고 있는 칠판을 보고, 반지름의 길이가 $5$인 원 $\mathrm O$에 내접하는 정삼각형 $\mathrm{ABC}$와 정삼각형 $\mathrm{PQR}$을 이용하여 다음과 같은 도형을 만들었다.

어두운 부분의 넓이의 최솟값을 구하기 위하여 정삼각형 $\mathrm{PQR}$을 원 $\mathrm O$에 내접하면서 움직였더니, 어두운 부분의 넓이의 최솟값이 $a\pi-b\sqrt3$이었다. 이때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 유리수)