2018학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 가형 18번

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f\left(x\right)$가 $f\left(0\right)=0$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $f'\left(x\right)>0$이다.
곡선 $y=f\left(x\right)$ 위의 점 $\mathrm{A}\left(t,\,f\left(t\right)\right)$ $\left(t>0\right)$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}$라 하고, 점 $\mathrm{A}$를 지나고 점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 수직인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. 모든 양수 $t$에 대하여 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $\dfrac12\left(e^{3t}-2e^{2t}+e^t\right)$일 때, 곡선 $y=f\left(x\right)$와 $x$축 및 직선 $x=1$로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점]