두 접선과 두 원의 배열

좌표평면에서 원점 ${\rm O}$를 지나는 직선 $\ell$에 대하여, $x$축과 직선 $\ell$이 이루는 예각을 직선 $y=\dfrac34x$가 이등분한다. $x$축 위의 원점이 아닌 점 ${\rm T}$에서 $x$축에 접하고 직선 $\ell$에도 접하는 원 중 반지름의 길이가 작은 원을 $C_1$, 큰 원을 $D_1$이라 하자. 자연수 $n$에 대하여 $x$축과 직선 $\ell$에 동시에 접하고 원 $C_n$에 외접하는 원 중 반지름의 길이가 가장 큰 원을 $C_{n+1}$이라 하고, 원 $D_1$에서 시작하여 같은 규칙으로 정한 원을 차례로 $D_n$이라 하자. 원 $C_n$의 중심의 $y$좌표를 $y_n$이라 하고, 원 $C_1$이 직선 $\ell$과 접하는 점을 ${\rm U}$라 하자. 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $12800$인 원 ${\rm S}$에 대하여 다음 조건을 만족시키도록 점 ${\rm T}$를 잡는다.

조건을 만족시키는 점 ${\rm T}$와 이에 따라 정해지는 원 $C_1$ 위의 점 ${\rm A}$를 생각하자. 점 ${\rm A}$는 두 점 ${\rm T}$, ${\rm U}$와 다르다. 점 ${\rm A}$에서 직선 ${\rm TU}$에 내린 수선과 점 ${\rm T}$에서 직선 ${\rm UA}$에 내린 수선의 교점을 ${\rm H}$라 하자. 가능한 모든 점 ${\rm T}$, ${\rm A}$에 대하여 점 ${\rm H}$의 $x$좌표의 최댓값을 구하시오.