2012학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 14번

그림과 같이 원점 $\mathrm O$를 지나고 기울기가 $\tan\theta$인 직선 $l$과 점 $\mathrm A_1(0,\,3)$이 있다. 점 $\mathrm O$를 중심으로 하고 $\overline{\mathrm{OA}_1}$을 반지름으로 하는 원과 직선 $l$이 만나는 점을 $\mathrm B_1$이라 하자. $\mathrm B_1$을 지나고 $y$축에 평행한 직선 $l_1$이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm C_1$이라 하고, 직선 $l_1$ 위에 $\overline{\mathrm{OC}_1}=\overline{\mathrm B_1\mathrm A_2}$가 되는 점 $\mathrm A_2$를 잡는다. 점 $\mathrm B_1$을 중심으로 하고 $\overline{\mathrm B_1\mathrm A_2}$를 반지름으로 하는 원과 직선 $l$이 만나는 점을 $\mathrm B_2$라 하자. $\mathrm B_2$를 지나고 $y$축에 평행한 직선 $l_2$가 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm C_2$라 하고, 직선 $l_2$ 위에 $\overline{\mathrm C_1\mathrm C_2}=\overline{\mathrm B_2\mathrm A_3}$가 되는 점 $\mathrm A_3$를 잡는다. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 부채꼴 $\mathrm B_{n-1}\mathrm B_n\mathrm A_n$의 호의 길이를 $\widehat{\mathrm A_n\mathrm B_n}$이라 할 때,

이다. $\overline{\mathrm B_1\mathrm C_1}$의 값은? (단, $0<\theta<\frac\pi2$이고 $\mathrm B_0$는 원점이다.) [4점]