에드거의 하이퍼 브롤볼

에드거가 $11$차원 초공간에서 공을 가지고 $300$만큼 떨어진 초평면의 골대로 초당 $1$의 속력으로 가고 있다. 에드거는 상대팀의 공격을 피하기 위해 다음과 같이 움직인다.

에드거는 현재 자신의 위치에서 골대에 내린 수선의 발을 향하는 방향과 이루는 각의 크기가 $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\dfrac{\pi}{2}$ 미만인 방향 중 하나를 균등한 확률로 선택한다.

선택한 방향으로 $1$초 동안 직진하고 이 과정을 계속 반복한다.

에드거가 $256$초 동안 이동했을 때, 에드거와 골대 사이의 거리의 기댓값을 구하시오. (단, 에드거의 모든 방향 선택은 서로 독립적이다.)