빨간띠 4경시형

부분분수를 이용한 수열의 극한

PATHWAY2026.08.21

자연수 $n$ 에 대하여 수열 $\left\{S_{{\scriptstyle n}}\right\}$ 이 다음과 같이 정의되고, $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\displaystyle\alpha = \lim_{{\scriptstyle n \to \infty}} S_{{\scriptstyle n}}$ 이라 하자.

\displaystyle S_{{\scriptstyle n}} = \sum_{{\scriptstyle k=1}}^{{\scriptstyle n}} \dfrac{2k-1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}

자연수 $m = 8\alpha$ 에 대하여, 열린구간 $\left(0,\,\pi\right)$ 에서 정의된 함수

P\left(x\right) = \cos\left(x\right)\cos\left(2x\right)\cos\left(2^{{\scriptstyle 2}} x\right)\cdots\cos\left(2^{{\scriptstyle m}} x\right)

의 그래프와 두 직선 $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}y = \dfrac{1}{2^{{\scriptstyle m+1}}}$ , $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}y = -\dfrac{1}{2^{{\scriptstyle m+1}}}$ 의 교점의 개수의 합을 $K$ 라 하자. 또한, 수열 $\left\{C_{{\scriptstyle n}}\right\}$ 을

\displaystyle C_{{\scriptstyle n}} = \sum_{{\scriptstyle k=1}}^{{\scriptstyle n}} \left(2k-1\right)\left\{\cos\left(\dfrac{k\pi}{2n+1}\right) - \cos\left(\dfrac{\left(k+1\right)\pi}{2n+1}\right)\right\}

이라 할 때, 극한값 $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\displaystyle L = \lim_{{\scriptstyle n \to \infty}} \dfrac{C_{{\scriptstyle n}}}{n^{{\scriptstyle 2}} \sin\left(\dfrac{\pi}{2\left(2n+1\right)}\right)}$ 에 대하여 $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}p = \dfrac{\pi^{{\scriptstyle 2}}}{16} L$ 이라 하자. $K \cdot p + 40\alpha$ 의 값을 구하시오.