2008학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 17번

그림과 같이 원점 $\mathrm O$와 점 $(2,0)$을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $C_1$이라 하자. 또, 원 $C_1$과 직선 $y=x$가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $C_2$, 원 $C_2$와 $y$축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $C_3$이라 하자. 또, 원 $C_3$과 직선 $y=-x$가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $C_4$, 원 $C_4$와 $x$축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $C_5$라 하자.

이와 같은 방법으로 중심이 차례로 직선 $y=x$, $y$축, 직선 $y=-x$, $x$축, $\cdots$ 위에 있는 원 $C_6$, $C_7$, $C_8$, $C_9$, $\cdots$를 한없이 만들어 갈 때, 원 $C_n$의 내부와 원 $C_{n+1}$의 외부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 $S_n$ ($n=1,2,3,\cdots$)이라 하자.

이때 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]