2011학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 27번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $AB$를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $AB$의 중점 $O$와 반원 위를 움직이는 점 $C$에 대하여 부채꼴 $OBC$에 내접하는 원을 $O_1$, 현 $BC$와 호 $BC$로 둘러싸인 부분에 내접하는 원 중 반지름의 길이가 가장 큰 원을 $O_2$라 하자. $\angle ABC=\theta$라 하고 두 원 $O_1$, $O_2$의 반지름의 길이를 각각 $f(\theta)$, $g(\theta)$라 할 때, $\lim\limits_{\theta\to\frac\pi2-0}\frac{g(\theta)}{\{f(\theta)\}^2}=\frac qp$이다. $p^2+q^2$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]