원점을 지나는 직선과 삼차함수의 교점 개수

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=tx$의 교점의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$의 그래프는 그림과 같다. 함수 $g(t)$가 불연속인 지점의 $t$값 중 가장 작은 값을 $a$, 가장 큰 값을 $b$라 하자.

함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

$\displaystyle\left|\sum_{k=0}^{4}\{g(f(k))+f(k)\}\right|+a+b+\lim_{x\to a-}g(x)+\lim_{x\to b+}g(x)$의 값을 구하시오.